La méthode

PPCM et PGCD par décomposition en facteurs premiers

5ᵉ · Mathématiques

I. La décomposition en facteurs premiers

Définition

La décomposition en facteurs premiers écrit un nombre avec des multiplications de nombres premiers. Chaque nombre ne peut plus être divisé.

Méthode

Décompose le nombre pas à pas avec des nombres premiers.
Développe chaque puissance séparément avant de multiplier.

Exemple

Pour le nombre $12$ , on écrit $2 \times 2 \times 3$ . On obtient la décomposition $2^{2} \times 3$ .

II. Calculer le PGCD de deux nombres

Définition

Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs pris avec leur plus petit exposant.

Méthode

Décompose chaque nombre en facteurs premiers.
Garde uniquement les facteurs communs aux deux listes.
Multiplie ces facteurs avec leur plus petit exposant.

Exemple

Soit $24 = 2^{3} \times 3$ et $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ . Les facteurs communs sont $2$ et $3$ . Le PGCD est $2^{2} \times 3 = 12$ .

III. Calculer le PPCM de deux nombres

Définition

Le PPCM est le plus petit multiple commun contenant tous les facteurs premiers.

Méthode

Décompose les deux nombres en facteurs premiers.
Prends tous les facteurs présents dans les listes.
Multiplie chaque facteur avec son plus grand exposant.

Exemple

Soit $24 = 2^{3} \times 3$ et $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ . On prend tous les facteurs avec le plus grand exposant. Le PPCM est $2^{3} \times 3^{2} = 8 \times 9 = 72$ .

IV. Propriétés des PGCD et PPCM

Propriété

Le PGCD est toujours inférieur ou égal au plus petit des deux nombres. Il ne retient que les facteurs partagés, contrairement au PPCM.

Définition

Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à $1$ .

Exemple

Soit $8 = 2^{3}$ et $9 = 3^{2}$ . Ils n'ont pas de facteur premier commun. Leur PGCD vaut $1$ . Ils sont premiers entre eux.

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PPCM et PGCD par décomposition en facteurs premiers

I. La décomposition en facteurs premiers

II. Calculer le PGCD de deux nombres

III. Calculer le PPCM de deux nombres

IV. Propriétés des PGCD et PPCM