La méthode

Puissances de 10 relatives et écriture scientifique

4ᵉ · Mathématiques

I. Puissances particulières et négatives

Définition

Un exposant négatif $1 0^{- n}$ donne une division : $\frac{1}{1 0 ^{n}}$ . Tout nombre non nul à la puissance $0$ vaut toujours $1$ .

Propriété

Pour une puissance de puissance, tu multiplies toujours les exposants entre eux.

Remarque

Pour les puissances négatives, plus l'exposant grandit en valeur absolue, plus le nombre est petit.

Méthode

Écris la fraction inverse pour un exposant négatif.
Remplace par $1$ pour un exposant zéro.

Exemple

Soit $1 0^{- 2}$ . J'écris la division : $\frac{1}{1 0 ^{2}} = \frac{1}{100} = 0, 01$ . Soit $5^{0}$ . Le résultat final vaut $1$ .

Exemple

Calculons $(1 0^{- 2})^{3}$ . Tu multiplies $- 2$ par $3$ , ce qui donne $- 6$ . Le résultat est $1 0^{- 6}$ . Comparons $1 0^{- 3}$ et $1 0^{- 4}$ . L'exposant $- 3$ est plus petit en valeur absolue. Donc $1 0^{- 3} > 1 0^{- 4}$ .

II. Calculs avec les puissances de 10

Propriété

Pour multiplier, tu gardes la base $10$ et tu additionnes les exposants : $1 0^{a} \times 1 0^{b} = 1 0^{a + b}$ .

Propriété

Pour diviser, tu soustrais l'exposant du bas à celui du haut : $\frac{1 0 ^{a}}{1 0 ^{b}} = 1 0^{a - b}$ .

Remarque

Tu n'additionnes jamais les exposants dans une addition de nombres.

Méthode

Repère le signe de calcul entre les puissances.
Applique la règle d'addition ou de soustraction des exposants.

Exemple

Calculons $1 0^{3} \times 1 0^{2}$ . Je garde $10$ et j'additionne $3 + 2$ . J'obtiens $1 0^{5}$ .

Exemple

Calculons $1 0^{- 2} \times 1 0^{- 3}$ . Tu additionnes $- 2$ et $- 3$ , ce qui donne $- 5$ . Attention aux signes : le résultat est $1 0^{- 5}$ .

III. Écriture scientifique d'un nombre

Définition

L'écriture scientifique est $a \times 1 0^{p}$ . Le nombre $a$ vérifie $1 \leq a < 10$ .

Méthode

Repère le chiffre non nul le plus à gauche du nombre.
Place la virgule juste après ce chiffre pour obtenir $a$ .
Compte les rangs déplacés : c'est l'exposant $p$ (positif ou négatif).
Sépare les nombres des puissances, calcule chaque groupe, puis assemble.

Exemple

Écrivons $3000$ en notation scientifique. Je sépare en $3 \times 1000$ . Cela donne $3 \times 1 0^{3}$ . L'exposant est positif car c'est un grand nombre.

Exemple

Écrivons $0, 00045$ en notation scientifique. Le premier chiffre non nul est $4$ . J'obtiens $a = 4, 5$ . La virgule se déplace de $4$ rangs vers la droite, donc $p = - 4$ . Le résultat est $4, 5 \times 1 0^{- 4}$ .

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Puissances de 10 relatives et écriture scientifique

I. Puissances particulières et négatives

II. Calculs avec les puissances de 10

III. Écriture scientifique d'un nombre