La méthode

La propriété de Thalès : configuration simple, trapèze et triangles semblables

4ᵉ · Mathématiques

I. Reconnaître des triangles semblables

Définition

Des triangles sont semblables s'ils ont la même forme. Leurs angles sont égaux et leurs côtés sont proportionnels.

Propriété

Le rapport de proportionnalité ne change jamais entre les côtés correspondants de deux triangles semblables.

Remarque

Semblable veut dire même forme, pas du tout même taille.

Exemple

Le triangle $A B C$ a des angles égaux à $D E F$ . Les rapports de leurs côtés valent tous $2$ .

II. Calculer avec des triangles semblables

Méthode

Regarde l'ordre des lettres pour trouver les côtés correspondants.
Pose toujours le rapport petit sur grand.
Utilise le produit en croix pour trouver la longueur.

Exemple

Triangles $A B C$ et $D E F$ semblables : $A B = 3$ , $D E = 6$ , $A C = 4$ . On pose $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F}$ , soit $\frac{3}{6} = \frac{4}{D F}$ . Le produit en croix donne $D F = \frac{6 \times 4}{3} = 8$ .

III. La propriété de Thalès

Théorème

Des droites parallèles dans un triangle forment un petit triangle semblable.

Méthode

Vérifie toujours le parallélisme des droites en premier.
Compare le côté du petit triangle au grand triangle avec petit sur grand.

Exemple

Les droites $(D E)$ et $(B C)$ sont parallèles, avec $D \in [A B]$ et $E \in [A C]$ . Le petit triangle $A D E$ est donc semblable au grand triangle $A B C$ .

Théorème

Si $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ , alors $(M N)$ et $(B C)$ sont parallèles.

Exemple

Dans le triangle $A B C$ , $M \in [A B]$ et $N \in [A C]$ . On donne $A M = 2$ , $A B = 6$ , $A N = 3$ et $A C = 9$ . On calcule $\frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}$ et $\frac{A N}{A C} = \frac{1}{3}$ . Les rapports sont égaux, donc $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ .

IV. Calculer une longueur avec Thalès

Méthode

Écris l'égalité avec les rapports des côtés.
Mets le petit côté sur le grand.

Méthode

Pour Thalès en papillon, pars du sommet $O$ vers une extrémité puis l'autre.
Calcule d'abord le grand côté en entier.
Multiplie les deux nombres en diagonale et divise par le troisième.
Soustrais la petite partie pour trouver le segment manquant.

Exemple

On a $\frac{3}{9} = \frac{4}{B C}$ . Le produit en croix donne $B C = \frac{9 \times 4}{3} = 12$ .

Exemple

Avec $A M = 2$ , $M B = 3$ , $A N = 4$ : $A B = A M + M B = 5$ . On calcule $\frac{2}{5} = \frac{4}{A C}$ , donc $A C = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ . Alors $N C = A C - A N = 10 - 4 = 6$ .

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La propriété de Thalès : configuration simple, trapèze et triangles semblables

I. Reconnaître des triangles semblables

II. Calculer avec des triangles semblables

III. La propriété de Thalès

IV. Calculer une longueur avec Thalès