La méthode

La droite des milieux dans un triangle

4ᵉ · Mathématiques

I. Reconnaître la droite des milieux

Définition

Soit un triangle $A B C$ . Le point $M$ est le milieu de $[A B]$ . Le point $N$ est le milieu de $[A C]$ . Le segment $[M N]$ forme la droite des milieux.

Propriété

La droite des milieux est parallèle au troisième côté. Ce côté ne contient aucun des deux milieux.

Exemple

Dans le triangle $A B C$ , $M$ est au milieu de $[A B]$ . $N$ est au milieu de $[A C]$ . $[M N]$ est parallèle à $B C$ .

II. Calculer la longueur du segment

Propriété

Le segment des milieux mesure la moitié du troisième côté. L'égalité $B C = 2 M N$ montre cette règle.

Méthode

Repère la longueur du troisième côté du triangle.
Divise cette longueur par deux pour trouver la longueur cherchée.

Exemple

Dans le triangle $A B C$ , le côté $B C$ mesure $10$ centimètres. Divise $10$ par deux. Le segment $M N$ mesure $5$ centimètres.

III. Trouver un milieu avec une parallèle

Théorème

Dans un triangle $A B C$ , une droite part du milieu $M$ de $[A B]$ . Elle est parallèle à $B C$ . Elle coupe $[A C]$ en son milieu $N$ .

Méthode

Vérifie que la droite part du milieu d'un côté.
Vérifie que cette droite est parallèle à un autre côté.
Conclus qu'elle coupe le troisième côté en son milieu.

Exemple

Dans le triangle $A B C$ , $M$ est le milieu de $[A B]$ . La droite $(M N)$ est parallèle à $(B C)$ , avec $N$ sur $[A C]$ . Donc $N$ est le milieu de $[A C]$ .

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La droite des milieux dans un triangle

I. Reconnaître la droite des milieux

II. Calculer la longueur du segment

III. Trouver un milieu avec une parallèle