La méthode
Arithmétique : PPCM et PGCD
4ᵉ · Mathématiques
I. Les nombres premiers et la décomposition
Définition
Un nombre premier n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même. Le nombre 1 n'est pas premier car il a un seul diviseur.
Méthode
- Divise le nombre par les plus petits nombres premiers comme 2, 3 ou 5.
- Continue les divisions successives jusqu'à obtenir le nombre 1.
- Regroupe les facteurs identiques en utilisant des exposants.
Exemple
Décomposons le nombre 60. On a 60 divisé par 2 égale 30. Puis 30 divisé par 2 égale 15. Ensuite 15 divisé par 3 égale 5. Enfin 5 divisé par 5 égale 1. La décomposition finale est 2 au carré multiplié par 3 multiplié par 5.
II. Calculer le PGCD de deux nombres
Définition
Le PGCD est le Plus Grand Commun Diviseur. C'est le plus grand nombre qui divise deux nombres. Deux nombres premiers distincts ont un PGCD égal à 1.
Méthode
- Décompose chaque nombre en facteurs premiers.
- Repère les facteurs premiers communs aux deux nombres.
- Choisis le plus petit exposant pour chaque facteur commun.
- Multiplie ces facteurs pour obtenir le PGCD.
Exemple
Cherchons le PGCD de 60 et 48. Écris 60 avec . Écris 48 avec . Les facteurs communs sont 2 et 3. Prends les plus petits exposants. Le calcul donne , soit 12.
III. Calculer le PPCM
Définition
Le PPCM est le Plus Petit Commun Multiple. C'est un multiple, contrairement au PGCD qui est un diviseur.
Propriété
La relation entre deux nombres et donne toujours .
Méthode
- Décompose chaque nombre en facteurs premiers.
- Prends tous les facteurs premiers présents dans les décompositions.
- Choisis l'exposant le plus élevé pour chaque facteur.
- Multiplie ces facteurs pour obtenir le PPCM.
Exemple
Cherchons le PPCM de 60 et 48. Prends 60 égal à . Prends 48 égal à . Les facteurs sont 2, 3 et 5. Prends les plus grands exposants. Le calcul donne , soit 240.