Définition

La valeur absolue d'un nombre est toujours positive ou nulle. C'est une distance.

Propriété

La valeur absolue d'un nombre et celle de son opposé sont égales : $|-x|=|x|$.

Propriété

Si $|A|=0$, alors $A=0$.

Propriété

Si $x$ est négatif, sa valeur absolue est son opposé : $|x|=-x$.

Propriété

Une équation avec un résultat négatif comme $|x|=-3$ est toujours impossible.

Théorème

Résoudre $|A|=B$ donne toujours deux cas : $A=B$ ou $A=-B$.

Méthode

1. 1Écris les deux équations possibles avec le nombre positif et son opposé.
2. 2Résous chaque petite équation pour trouver la valeur de $x$.

Définition

Un crochet ouvert $]$ ou $[$ signifie que la borne est exclue de l'intervalle.

Propriété

Un signe $\le$ ou $\ge$ ferme le crochet car la valeur est incluse.

Définition

L'intersection est la partie commune où les deux ensembles se croisent.

Propriété

La réunion regroupe tous les éléments des deux intervalles sur la droite.

Méthode

1. 1Trace les conditions sur une droite graduée.
2. 2Repère la zone où les traits se superposent pour trouver l'intersection.
3. 3Pour la réunion, garde la plus petite et la plus grande borne.

Définition

La distance entre deux nombres $a$ et $b$ est toujours $|a-b|$, jamais $|a+b|$.

Propriété

L'inéquation $|x|\le a$ signifie que $x$ est compris entre $-a$ et $a$.

Propriété

Quand $|x-a|$ dépasse un nombre positif, les solutions sont à l'extérieur.

Méthode

1. 1Pour une distance, soustraire un négatif revient à l'ajouter.
2. 2Identifie le nombre positif $a$ de l'inégalité.
3. 3Écris l'encadrement correspondant entre $-a$ et $a$ avec des crochets fermés.
4. 4Pour $|x-a|>b$, écris $x<a-b$ ou $x>a+b$.