La méthode
Arithmétique : nombres premiers et PGCD
3ᵉ · Mathématiques
I. Les nombres premiers
Définition
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. 0 et 1 ne sont jamais premiers.
Méthode
- Choisis un nombre entier supérieur à 1.
- Teste sa division par les petits nombres premiers.
- Arrête-toi si tu trouves une division exacte.
- Si aucun diviseur n'apparaît jusqu'à la racine carrée, le nombre est premier.
Exemple
Teste le nombre avec puis . On s'arrête là car . Aucune division n'est exacte. Il est donc premier.
Remarque
Un nombre impair n'est pas forcément premier. Vérifie toujours avec soin.
II. Calcul du PGCD par soustraction
Définition
Le PGCD de deux nombres est le plus grand nombre qui divise chacun d'eux.
Propriété
Le PGCD est aussi le dernier résultat non nul des soustractions successives.
Propriété
La soustraction ne modifie jamais le PGCD de deux nombres.
Méthode
- Retire le petit nombre du grand sans t'arrêter.
- Garde le plus petit nombre intact à côté.
- Continue jusqu'à obtenir zéro comme différence.
Exemple
Pour et , fais puis . Le dernier non nul est .
Remarque
Ne confonds jamais soustraction et division dans cette méthode.
III. Nombres premiers entre eux
Définition
Deux nombres sont premiers entre eux quand leur seul diviseur commun est .
Propriété
Deux nombres premiers distincts ont toujours un PGCD égal à .
Exemple
Les nombres et ont pour unique diviseur commun . Ils sont premiers entre eux.
Remarque
Un PGCD égal à ne signifie pas que les nombres sont premiers.